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Additive Zahlentheorie: Zweiter Teil Spezielle Zahlenmengen by Hans-H. Ostmann

By Hans-H. Ostmann

Der hier vorliegende Bericht ist der zweite Teil des Ergebnisberichtes über additive Zahlentheorie und behandelt, wie schon im Vorwort des ersten Teils erwähnt, spezielle Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen. Für die Untersuchung solcher Mengen genügt zumeist schon die Kennt­ nis gewisser Struktureigenschaften, so daß die gewonnenen Resultate in der Regel gleich für ganze Klassen von Mengen Gültigkeit haben. Dieser Gesichtspunkt ist namentlich für die Abschnitte 18, 19 und 20 maßgebend. - Entsprechend der Entwicklung allgemeiner Begriffs­ bildungen und Sätze innerhalb der additiven Zahlentheorie, wie der Dichtentheorie, der Theorie der Basismengen usw., interessiert natur­ gemäß die Kenntnis der diesbezüglichen wesentlichen Größen bei speziellen Mengen. Insbesondere ordnet sich diesem Gesichtspunkt ohne weiteres auch die Aufgabe unter, die charakteristischen

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Additive Zahlentheorie: Zweiter Teil Spezielle Zahlenmengen

Der hier vorliegende Bericht ist der zweite Teil des Ergebnisberichtes über additive Zahlentheorie und behandelt, wie schon im Vorwort des ersten Teils erwähnt, spezielle Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen. Für die Untersuchung solcher Mengen genügt zumeist schon die Kennt­ nis gewisser Struktureigenschaften, so daß die gewonnenen Resultate in der Regel gleich für ganze Klassen von Mengen Gültigkeit haben.

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O < c5 (9l" • genauer gilt: I k' > 1), und es gelte P*-V]:x (log log ~r-l) < 00' log x ' "*-y;r +0 ("*-y;r) log x ACk>O, m=l",Nk(X)=cklogx m > Dann ist p*-1 2 (1 1 1 '" N~(x) = ck-1Ti og lOg x V ogx )m-l + + 0 C* -yx (log ~~; ;)m-) A (23) ck > O. 91~ ist offensichtlich mit der Menge aller Primzahlen p > 1 identisch, Satz 8 daher eine gewisse Verallgemeinerung des Primzahlsatzes (s. , Satz 1). Zusatz. =1 Fußnote 1 auf S. 66) (ro = Min (r, k) = 1 r). ) Für diese Mengen 91kr zeigt WIRSING noch (Näheres siehe· Fußnote 1, S.

1. Siehe auch v. D. CORPUT [8]. Die Übertragung des Beweises auf Satz 2 wird ebenfalls von A. SELBERG [3J. [6J durchgeführt. I 10g2 P + ~ log P log q = - - () x log x + 0 (x) . p~x pq~x rp m p=a(m) pq=a(m) Siehe auch BucH~hAB [6J. CUDAKOV [3J. [5J. CUTANOVSKIJ [lJ. ERDÖS [27J. [28J. FOGELS [lJ. LAND AU [4J. [7J. PAGE [2J. RODOSSKrI [lJ. ROMANOV [5J. SHAPIRO [lJ. [4J. WRIGHT [2]. Ferner sei auf ESTERMANN [10J. NAGELL [3J und ·TRosT [2J verwiesen. Die Eigenschaft, daß die Primzahlmenge für jeden Modul m nur in den primen Restklassen unendlich viele Elemente aufweist, hat noch zur Folge, daß jede beliebige Menge von Primzahlen pseudorational ist (R.

Was dem kleinen FERMATschen Satz zufolge p~ = 1 (m) (Pi' m) = 1) nach sich zieht. I Pi = s (m). i=l (\ [m +1,00) gilt daher 56 21. Die Primzahlen und verwandte Mengen. Ist k gerade, so kann m = 2 gewählt werden. Der weitere Beweis läuft dann darauf hinaus, die Existenz eines s = h* nachzuweisen, daß ~U(k)IO) asymptotische Basis der Ordnung h* für die Restklasse h* (mod m) ist. 8 bedeutet. 8 und mithin (h* + m - 1) ~(k) '-' ,p,. 3. erwähnten PAGESIEGEL-WALFIsz-Resultat herangezogen wird. Das gleiche Verfahren diente auch bereits zum Beweis von Satz 4 (siehe etwa HUA [3J, VINOGRADOV [7J).

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