German 5

Automatisierung von Terminierungsbeweisen by Christoph Walther (auth.), Wolfgang Bibel (eds.)

By Christoph Walther (auth.), Wolfgang Bibel (eds.)

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Additive Zahlentheorie: Zweiter Teil Spezielle Zahlenmengen

Der hier vorliegende Bericht ist der zweite Teil des Ergebnisberichtes über additive Zahlentheorie und behandelt, wie schon im Vorwort des ersten Teils erwähnt, spezielle Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen. Für die Untersuchung solcher Mengen genügt zumeist schon die Kennt­ nis gewisser Struktureigenschaften, so daß die gewonnenen Resultate in der Regel gleich für ganze Klassen von Mengen Gültigkeit haben.

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9l und defmiert als : at <, a2 gdw. 9ls fUrein seSund #s(at)

46 4 BEWEISEN DURCH ABSCHAIZEN MIT DEM E-KALKUL Mit (3) und (4) gilt die zu zeigende Aussage (*). Offensichtlich haben wir (*) mit rein syntaktischen Hilfsmitteln, namlich mit (1) und (2), bewiesen, also die Aufgabe so gelost, wie wir dies anfangs verlangten. Diese Vorgehensweise zeigt, wie wir den E-Kalkiil im folgenden verwenden werden. Wir geben ein Beispiel: Angenommen wir wollen zeigen, daB (*) A[ .. J 1= -,x=O impliziert A[ .. 1 (min(pred(x) minus(x y))) ~ A[ .. J (x) gilt, wobei min das Minimum eines Paares natiirlicher Zahlen berechnet, pred die Vorgangerfunktion und minus die Subtraktion auf den natiirlichen Zahlen bezeichnet.

4 ABSCHATZUNGEN DURCH DATENSTRUKTUREN 39 < (x, x) 0> (2) < (tail(x) , x) , {x=add(head(x) tail(x))} > (3) < (remove(n tail(x)) ,x) , {x=add(head(x) tail (x)) ,member(n tail(x))=true} > . (1) Dabei haben wir (1) die Identitiitsregel, (2) die Argurnentregel mit "tail 1beschrfulkt" und (3) die Argurnentregel mit "remove 2-beschrfulkt" verwendet. Offensichtlich haben wir das erwiinschte Ergebnis erhalten und damit fonnal bewiesen, daB A[ .. 1 (remove(n tail(x)))

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